江戸川区で不動産管理業、及び仲介業を営んでいるＦ・リンクホームの彦田と申します。
11月中旬（11月22日）に初期費用の支払いをする場合、大体12月頭からの入居という入居フローで考え、お答えをさせて頂きます。
まずお部屋探しのタイミングですが、かなるん様がお考えの通り、10月中旬から本腰を入れて探されるのが宜しいかと思います。
物件探しから入居までの大体のタイムフローを記載させて頂きます。
10月中旬：物件探し
11月頭：物件決定、申込
11月中旬：契約（11月22日という事も可能かと思います）
11月下旬～12月頭：入居

現在出ている物件と10月中旬に出ている物件とでは異なってくると思います。
より良い物件で生活をと考える場合、早めに動き始める事をオススメ致します。

尚、物件数については、その年によって異なる事がございます。その理由としては、近隣に良い分譲マンションが建つ場合、9月や10月でも空室は出ますし、その場所に住まわれている方の更新時期によっても物件量は変わります。

あくまで、私の個人的感想として捉えて頂き、かなるん様の要望に近い物件（希望時期）を探されるのが宜しいかと思います。

回答日：2019/09/20

※株式会社いえらぶGROUPは、回答内容の正確性、完全性または有用性等について、一切の責任を負いかねます。