現在の住宅では木造の3階建ては適法であり、住宅ローンも普通に貸し出されており、また借換えも可能です。
詳細が不明なので憶測ですが、その建物が違法建築の状態になってはいないでしょうか？
我々の言葉では、違法建築とか現況不適格などと言いますが、そのような状況に陥る主なものを下記に記載しておきます。

１．建築時から建築基準法に違反している
２．増築などで、建蔽率や容積率が超過してしまった
３．都市計画の変更などで、建蔽率や容積率の指定が変更され違法状態になった
３．道路の拡幅などで本来の宅地部分が道路に供されて建蔽率や容積率超過になった

また、以前の木造3階建てが認可されていない時代のものであれば１．に該当します。
金融機関によっては「木造住宅の耐用年数」の規定があり
（耐用年数－経過期間＝残存ローン可能期間）＝実質借入可能期間となります。
１．２．に該当する場合でも、フラット35の適合証明が取得できる場合は、住宅金融機構のフラット35で借り換えが可能です。
もし、これらに該当しないのであれば、総合的に相談に乗っていただける、今とは違う金融機関にも打診してみることをお勧めします。

回答日：2017/12/07

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