ひどい対応ですね・・
賃貸の契約に限らず、民法全般に言えることですが契約の前提になる大きな要因がかけており、契約の目的が達成できない場合はキャンセルやなんらかの補填を求めることが可能です。
今回の場合は、まず前提として希望のインターネットが使える、ということを条件にしてお部屋を契約されているのだと思います。
結果としてそれが間違っていたということですので、民法上ではわかっていれば契約はしなかった、契約の目的が達せられていない、という主張が認められるのではないかと思います。
あとはそれば誰の責任なのか、というところです。
今回のような賃貸の契約の場合、責任の所在が相談主様に希望のインターネットが使用できると伝えた不動産屋が悪いのか、
それとも不動産屋からの問い合わせに答えた貸主側にあるのか、というのが争点になると思います。
不動産屋が責任を認めればスムーズなのですが、こちらは貸主へ確認して使用できると回答を得ている、などと責任逃れをする可能性もございます。
不動産屋が責任を認めた場合は、引っ越し代や初期費用などにかかった費用または次の物件の契約の費用などを請求できると思います。
家賃に関しては貸主に支払うものなので、不動産屋の責任だった場合は家賃の減額は難しいでしょう。
どこまで認められるかは、具体的には話し合いや裁判の結果となると思います。頑張ってください。

法律の知識がないとなかなか不動産屋と渡り合えないと思いますので、公的機関に相談することをおすすめします。
お住まいが東京のようですので【不動産相談 東京都住宅政策本部】
で検索して、出てきた東京都住宅政策本部のホームページから、
2. 不動産取引（売買・賃貸）のうち、宅地建物取引業法の規制対象となる内容についての相談
のところに相談してみてください。
そのホームページには他の相談窓口もたくさん記載がありますのでご確認ください。
不動産業は宅地建物取引業の免許で仕事をしていますので、免許を発行するところが取り消しや指導などの圧力をかけやすいと思います。

参考になれば幸いです。

回答日：2020/12/21

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