内容拝見致しました。
このケースですと、まず金融機関に売却したお金で現在の借入金を返済する前提での住宅ローンの取り組みが出来るかどうかの事前確認が最優先です。
もし、相談に乗ってくれる金融機関があれば下記の流れでのお住み替えが可能となります。
【パターン１】仮住まい無し
①現在のお住まいを売りに出す
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②借入金が完済できる金額で売却を目指す
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③買主から申し込みが入ったタイミングで売りに出ている物件から購入する家を選ぶ
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④売却契約、購入契約をほぼ同時に行う
※売却契約の特約に引き渡し猶予1週間を付ける
↓
⑤売却決済、購入決済もほぼ同日に行う
↓
⑥上記引き渡し猶予期間内に引っ越しと引き渡しを行う

【パターン２】仮住まいあり
もし仮住まいする所があれば先に売却してからゆっくりと次のお住まいを探せます。

【パターン３】すでに買いたい家がある
このケースですとご自宅を借入金を返済できる金額で買い取ってもらえる業者を探さなくてはなりません。
①買取業者へ買取金額査定をしてもらう
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②借入金を完済できる金額以上で買い取り契約をする
※こちらも引き渡し猶予特約を付ける
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③買取契約が完了次第、買いたい家の申込をして購入の契約をする
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④買取決済、購入決済をほぼ同日に行う
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⑤引き渡し猶予期間内に引っ越しを行う

いずれにしましても、少し難易度の高い住み替えですので経験のある不動産屋さんに対応してもらわないとうまくいかないかもしれません。
少し分かりにくいかもしれませんが参考にしてください。

回答日：2018/08/11

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